待ち行列理論は AP科目Aの計算問題で必出。M/M/1 モデルの公式を覚えれば、サーバ性能・応答時間予測の問題が確実に解けます。
砂原 ニコ
M/M/1 って何のこと?
緒方 ナオミ 先生
ケンドール記法っていう表記法なのよ。
M = 到着分布 (Markov / ポアソン分布)、M = サービス時間分布 (指数分布)、1 = サーバ数1台、という意味ね。
最も基本的な待ち行列モデルなのよ。
鳴海 理央
重要公式は3つです。
① 利用率 ρ = λ / μ (到着率÷処理率)、② 平均待ち行列長 L = ρ / (1-ρ)、③ 平均待ち時間 W = ρ / (μ(1-ρ))。
AP では公式に値を代入するだけで解けますよ。
藤咲 まりあ
実務だとどう使うのぉ?
鳴海 理央
たとえば Web サーバの性能設計で『リクエスト到着率 100/秒、1リクエスト処理時間 8ms (= 処理率 125/秒)』なら ρ = 100/125 = 0.8 になります。
これを超えると待ち時間が急増する、というキャパシティ計画に使うんですよ。
緒方 ナオミ 先生
AP では『ρ=0.8 のシステムで平均待ち時間が何倍になるか』『ρ が 0.5 から 0.8 に上がると応答時間はどう変わるか』が頻出なのよ。
利用率が 1 に近づくと待ち時間が爆発的に増える、という非線形性を理解しておきましょうね。
確認クイズ
M/M/1 待ち行列モデルにおいて、サーバの利用率 ρ = 0.5 のときと比較して、ρ = 0.8 のとき平均待ち行列長 L はおよそ何倍になるか。
- 1.6倍
- 2倍
- 4倍
- 8倍
こたえを見る
正解: 3. 4倍
L = ρ / (1-ρ)。ρ=0.5 で L = 0.5/0.5 = 1、ρ=0.8 で L = 0.8/0.2 = 4。よって 4倍。利用率が 1 に近づくほど待ち時間が爆発的に増える典型例で、Webサーバ・銀行窓口・通信回線などの設計で重要な性質です。